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softmax 函数的输出是 0 . 0 到 1 . 0 之间的实数。并且， softmax函数的输出值的总和是1 。输出总和为 1 是 softmax 函数的一个重要性质。正因为有了这个性质，我们才可以把softmax 函数的输出解释为“概率”。
将 normalize 设置成 True 后，函数内部会进行转换，将图像的各个像素值除以255 ，使得数据的值在 0 . 0 ～ 1 . 0 的范围内。像这样把数据限定到某个范围内的处理称为正规化 （ normalization ）。此外，对神经网络的输入数据进行某种既定的转换称为预处理 （ pre-processing ）。
预处理在神经网络（深度学习）中非常实用，其有效性已在提高识别性能和学习的效率等众多实验中得到证明。在刚才的例子中，作为一种预处理，我们将各个像素值除以 255，进行了简单的正规化。实际上，很多预处理都会考虑到数据的整体分布。比如，利用数据整体的均值或标准差，移动数据，使数据整体以 0为中心分布，或者进行正规化，把数据的延展控制在一定范围内。除此之外，还有将数据整体的分布形状均匀化的方法，即数据白化 （whitening）等。
批处理对计算机的运算大有利处，可以大幅缩短每张图像的处理时间。 那么为什么批处理可以缩短处理时间呢？这是因为大多数处理 数值计算的库都进行了能够高效处理大型数组运算的最优化。并且， 在神经网络的运算中，当数据传送成为瓶颈时，批处理可以减轻数 据总线的负荷（严格地讲，相对于数据读入，可以将更多的时间用在 计算上）。也就是说，批处理一次性计算大型数组要比分开逐步计算 各个小型数组速度更快。
神经网络中的激活函数使用平滑变化的 sigmoid 函数或 ReLU 函数。
• 通过巧妙地使用 NumPy 多维数组，可以高效地实现神经网络。
• 机器学习的问题大体上可以分为回归问题和分类问题。
• 关于输出层的激活函数，回归问题中一般用恒等函数，分类问题中一般用softmax 函数。
• 分类问题中，输出层的神经元的数量设置为要分类的类别数。
• 输入数据的集合称为批。通过以批为单位进行推理处理，能够实现高速的运算。
深 度 学 习 有 时 也 称 为 端 到 端 机 器 学 习（end-to-end machine learning）。这里所说的端到端 是指从一端到另一端的意思，也就是 从原始数据（输入）中获得目标结果（输出）的意思。
神经网络的优点是对所有的问题都可以用同样的流程来解决。比如，不管要求解的问题是识别5 ，还是识别狗，抑或是识别人脸，神经网络都是通过不断地学习所提供的数据，尝试发现待求解的问题的模式。也就是说，与待处理的问题无关，神经网络可以将数据直接作为原始数据，进行“端对端” 的学习。
机器学习中，一般将数据分为 训练数据 和 测试数据 两部分来进行学习和实验等。首先，使用训练数据进行学习，寻找最优的参数；然后，使用测试数据评价训练得到的模型的实际能力。为什么需要将数据分为训练数据和测试数据呢？因为我们追求的是模型的泛化能力。为了正确评价模型的泛化能力，就必须划分训练数据和测试数据。另外，训练数据也可以称为 监督数据 。
泛化能力是指处理未被观察过的数据（不包含在训练数据中的数据）的能力。获得泛化能力是机器学习的最终目标。比如，在识别手写数字的问题中，泛化能力可能会被用在自动读取明信片的邮政编码的系统上。此时，手写数字识别就必须具备较高的识别“某个人”写的字的能力。注意这里不是“特定的某个人写的特定的文字”，而是“任意一个人写的任意文字”。如果系统只能正确识别已有的训练数据，那有可能是只学习到了训练数据中的个人的习惯写法。
因此，仅仅用一个数据集去学习和评价参数，是无法进行正确评价的。这样会导致可以顺利地处理某个数据集，但无法处理其他数据集的情况。顺便说一下，只对某个数据集过度拟合的状态称为过拟合 （ over fitting ）。避免过拟合也是机器学习的一个重要课题。
神经网络的学习通过某个指标表示现在的状态。然后，以这个指标为基准，寻找最优权重参数。和刚刚那位以幸福指数为指引寻找“最优人生”的人一样，神经网络以某个指标为线索寻找最优权重参数。神经网络的学习中所用的指标称为损失函数 （ loss function ）。这个损失函数可以使用任意函数，但一般用均方误差和交叉熵误差等。
损失函数是表示神经网络性能的“恶劣程度”的指标，即当前的神经网络对监督数据在多大程度上不拟合，在多大程度上不一致。以“性能的恶劣程度”为指标可能会使人感到不太自然，但是如果给损失函数乘上一个负值，就可以解释为“在多大程度上不坏”，即“性能有多好”。并且，“使性能的恶劣程度达到最小”和“使性能的优良程度达到最大”是等价的，不管是用“恶劣程度”还是“优良程度”，做的事情本质上都是一样的。