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康托展开（Cantor Expansion）

康托展开是一种用于排列唯一编码的方法，可以把一个排列转换成一个整数，并且能够从整数反向解析出原排列。主要用于排列的唯一表示、字典序排名、全排列生成等问题。

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1. 康托展开公式

给定一个长度为 $n$ 的排列 $P=(p_1,p_2,...,p_n)$，康托展开计算其在所有排列中的字典序排名（从 $0$ 开始计数）：

$\text{index}={\sum }_{i=1}^n(\text{count of numbers smaller than }{p}_i\text{ in remaining elements})\times (n-i)!$

其中：

• $(n-i)!$ 表示剩余元素的全排列个数。
• $\text{count of numbers smaller than }{p}_i\text{ in remaining elements}$ 表示 $p_i$ 在未出现的数中有多少个比它小。

例子

假设有排列 $P=(3,1,4,2)$，计算其康托展开值：

1. $3$ 前面有 $2$ 个比它小的数（即 $1$ 和 $2$），贡献 $2\times 3!=2\times 6=12$。
2. $1$ 前面没有比它小的数，贡献 $0\times 2!=0$。
3. $4$ 前面有 $1$ 个比它小的数（即 $2$），贡献 $1\times 1!=1$。
4. $2$ 前面没有比它小的数，贡献 $0\times 0!=0$。

最终计算：
$12+0+1+0=13$
所以，$(3,1,4,2)$ 在所有排列中的排名是 $13$（从 $0$ 开始）。

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2. 计算康托展开

Python 代码

from math import factorialdef cantor_expansion(permutation):n = len(permutation)index = 0used = [0] * (n + 1)  # 记录某个数是否出现过for i in range(n):count = sum(1 for x in range(1, permutation[i]) if not used[x])  # 计算未出现的比 p[i] 小的数index += count * factorial(n - i - 1)used[permutation[i]] = 1  # 标记已使用return index# 测试
perm = [3, 1, 4, 2]
print(cantor_expansion(perm))  # 输出 13

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3. 逆康托展开（从排名反推排列）

康托展开的逆运算是根据排名计算排列。

逆康托展开步骤

1. 初始化一个可用元素列表 $[1,2,3,\dots ,n]$。
2. 逐步确定排列的每一位：
   • 计算当前位属于哪个桶：$\text{rank}//(n-1)!$。
   • 确定该桶对应的元素，并移除该元素。
   • 计算 $\text{rank}\%(n-1)!$，继续下一位。

Python 代码

def inverse_cantor(rank, n):elements = list(range(1, n + 1))permutation = []for i in range(n, 0, -1):fact = factorial(i - 1)index = rank // factrank %= factpermutation.append(elements.pop(index))return permutation# 测试
print(inverse_cantor(13, 4))  # 输出 [3, 1, 4, 2]

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4. 复杂度分析

• 康托展开计算：每一位都需要遍历 $O(n)$ 个元素，时间复杂度 $O(n^2)$。
• 逆康托展开：每次寻找第 $k$ 小的数，使用 pop() 需 $O(n)$，总复杂度 $O(n^2)$。
• 优化：使用树状数组或平衡树可以优化到 $O(n\log n)$。

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5. 应用场景

1. 排列的唯一编码（用于哈希、压缩、存储）。
2. 字典序排名计算（如求一个排列是第几小的全排列）。
3. 求解全排列的第 $k$ 个排列（如 LeetCode 60 题）。
4. A 搜索中的状态压缩存储*（如 8 数码问题）。

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6. 总结

• 康托展开：将一个排列映射为一个整数，计算该排列在所有排列中的排名。
• 逆康托展开：给定排名，恢复原排列。
• 时间复杂度：$O(n^2)$（可优化至 $O(n\log n)$）。
• 主要用途：唯一编码、字典序排名、全排列查询。

这是一种非常实用的排列索引方法，在组合数学、搜索算法和数论中都有应用。