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基尼系数的定义

基尼系数是衡量数据分布不均衡程度的指标，取值范围在0到1之间：

• 0 表示完全均衡（所有值相等）。
• 1 表示完全不均衡（所有值集中在一个点）。

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基尼系数的计算公式

假设有 $n$ 个数据点，其值为 $x_1,x_2,\dots ,x_n$，且已按从小到大排序。基尼系数的计算公式为：

$$G=\frac{{\sum }_{i=1}^n(2i-n-1)\cdot x_i}{n\cdot {\sum }_{i=1}^n{x}_i}$$

其中：

• $x_i$ 是第 $i$ 个数据点的值。
• $n$ 是数据点的总数。

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计算步骤

1. 排序：将 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ 按从小到大排序。
2. 计算分子：计算 ${\sum }_{i=1}^n(2i-n-1)\cdot x_i$。
3. 计算分母：计算 $n\cdot {\sum }_{i=1}^n{x}_i$。
4. 计算基尼系数：将分子除以分母。

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示例计算

以地域维度的波动贡献值 [2.5, 1, 1, 95.5] 为例：

1. 排序：[1, 1, 2.5, 95.5]
2. 计算分子：
   $$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^4(2i-4-1)\cdot x_i& =(2\cdot 1-5)\cdot 1+(2\cdot 2-5)\cdot 1\\ & +(2\cdot 3-5)\cdot 2.5+(2\cdot 4-5)\cdot 95.5\\ & =(-3)\cdot 1+(-1)\cdot 1+1\cdot 2.5+3\cdot 95.5\\ & =-3-1+2.5+286.5\\ & =285\end{array}$$
3. 计算分母：
   $$n\cdot \sum _{i=1}^4{x}_i=4\cdot (1+1+2.5+95.5)=4\cdot 100=400$$
4. 计算基尼系数：
   $$G=\frac{285}{400}=0.7125$$

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案例说明

假设我们分析某公司销售额的异常下跌，数据分为两个维度：

1. 地域维度：包含4个地区（A、B、C、D）
2. 时间维度：包含4个时间段（Q1、Q2、Q3、Q4）

我们需要计算每个维度下各维度值对整体销售额波动的贡献值。

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波动贡献值的计算步骤

1. 计算整体销售额的波动

• 假设上期总销售额为 1000 万元，本期总销售额为 800 万元。
• 整体波动 = 本期销售额 - 上期销售额 = 800 - 1000 = -200 万元

2. 计算每个维度值的波动

对于每个维度值，计算其本期销售额与上期销售额的差值。

地域维度

地区	上期销售额（万元）	本期销售额（万元）	波动值（万元）
A	100	95	-5
B	200	198	-2
C	300	298	-2
D	400	209	-191

时间维度

时间段	上期销售额（万元）	本期销售额（万元）	波动值（万元）
Q1	250	224	-26
Q2	250	225	-25
Q3	250	225	-25
Q4	250	226	-24

3. 计算每个维度值的波动贡献值

波动贡献值 = (维度值的波动值 / 整体波动) × 100

地域维度

地区	波动值（万元）	波动贡献值（%）
A	-5	(-5 / -200) × 100 = 2.5%
B	-2	(-2 / -200) × 100 = 1%
C	-2	(-2 / -200) × 100 = 1%
D	-191	(-191 / -200) × 100 = 95.5%

因此，地域维度的波动贡献值为：[2.5, 1, 1, 95.5]

时间维度

时间段	波动值（万元）	波动贡献值（%）
Q1	-26	(-26 / -200) × 100 = 13%
Q2	-25	(-25 / -200) × 100 = 12.5%
Q3	-25	(-25 / -200) × 100 = 12.5%
Q4	-24	(-24 / -200) × 100 = 12%

因此，时间维度的波动贡献值为：[13, 12.5, 12.5, 12]

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基尼系数的计算

根据波动贡献值，可以计算每个维度的基尼系数。

地域维度的基尼系数

• 波动贡献值：[2.5, 1, 1, 95.5]
• 基尼系数较高，说明地域维度值分布不均衡，D地区的波动贡献值（95.5%）远高于其他地区。

时间维度的基尼系数

• 波动贡献值：[13, 12.5, 12.5, 12]
• 基尼系数较低，说明时间维度值分布均衡，各时间段的波动贡献值接近。

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• 地域维度的基尼系数较高，表明该维度更可能是异常源头（D地区销售额暴跌）。
• 时间维度的基尼系数较低，表明该维度与异常关联性较低。

结论

通过基尼系数，可以快速判断哪个维度更可能是导致指标异常的根源