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张量积

张量积（tensor product）或点积（dot product）是最常见且最有用的张量运算之一。注意，不要将其与逐元素乘积（*运算符）弄混。在NumPy中，使用np.dot函数来实现张量积，因为张量积的数学符号通常是一个点（dot）​。

x = np.random.random((32,))
y = np.random.random((32,))
z = np.dot(x, y)

数学符号中的点（•）表示点积运算。

z = x•y

从数学角度来看，点积运算做了什么？我们首先看一下两个向量x和y的点积。计算过程如下。

def naive_vector_dot(x, y):assert len(x.shape) == 1  ←---- (本行及以下1行) x和y都是NumPy向量assert len(y.shape) == 1assert x.shape[0] == y.shape[0]z = 0.for i in range(x.shape[0]):z += x[i] * y[i]return z

可以看到，两个向量的点积是一个标量，而且只有元素个数相同的向量才能进行点积运算。你还可以对一个矩阵x和一个向量y做点积运算，其返回值是一个向量，其中每个元素是y和x每一行的点积。实现过程如下。

def naive_matrix_vector_dot(x, y):assert len(x.shape) == 2  ←---- x是一个NumPy矩阵assert len(y.shape) == 1  ←---- y是一个NumPy向量assert x.shape[1] == y.shape[0]  ←---- x的第1维与y的第0维必须大小相同！z = np.zeros(x.shape[0])for i in range(x.shape[0]):  ←----这个运算返回一个零向量，其形状与x.shape[0]相同for j in range(x.shape[1]):z[i] += x[i, j] * y[j]return z

你还可以重复使用前面写过的代码，从中可以看出矩阵−向量点积与向量−向量点积之间的关系。

def naive_matrix_vector_dot(x, y):z = np.zeros(x.shape[0])for i in range(x.shape[0]):z[i] = naive_vector_dot(x[i, :], y)return z

注意，只要两个张量中有一个的ndim大于1，dot运算就不再是对称（symmetric）的。也就是说，dot(x, y)不等于dot(y, x)。当然，点积可以推广到具有任意轴数的张量。最常见的应用可能是两个矩阵的点积。对于矩阵x和y，当且仅当x.shape[1] == y.shape[0]时，你才可以计算它们的点积（dot(x, y)）​。点积结果是一个形状为(x.shape[0], y.shape[1])的矩阵，其元素是x的行与y的列之间的向量点积。简单实现如下

def naive_matrix_dot(x, y):assert len(x.shape) == 2  ←---- (本行及以下1行) x和y都是NumPy矩阵assert len(y.shape) == 2assert x.shape[1] == y.shape[0]  ←---- x的第1维与y的第0维必须大小相同！z = np.zeros((x.shape[0], y.shape[1]))  ←----这个运算返回一个特定形状的零矩阵for i in range(x.shape[0]):  ←----遍历x的所有行……for j in range(y.shape[1]):  ←----……然后遍历y的所有列row_x = x[i, :]column_y = y[:, j]z[i, j] = naive_vector_dot(row_x, column_y)return z

为了便于理解点积的形状匹配，可以将输入张量和输出张量像图2-5中那样排列，利用可视化来帮助理解。在图2-5中，x、y和z都用矩形表示（元素按矩形排列）​。由于x的行和y的列必须具有相同的元素个数，因此x的宽度一定等于y的高度。如果你打算开发新的机器学习算法，可能经常要画这种图。

更一般地说，可以对更高阶的张量做点积运算，只要其形状匹配遵循与前面2阶张量相同的原则。

(a, b, c, d)•(d,)→(a, b, c)
(a, b, c, d)•(d, e)→(a, b, c, e)

以此类推。

张量变形

另一个需要了解的张量运算是张量变形（tensor reshaping）​。虽然前面第一个神经网络例子的Dense层中没有用到它，但我们将数据输入神经网络之前，在预处理数据时用到了这种运算。

train_images = train_images.reshape((60000, 28 * 28))

张量变形是指重新排列张量的行和列，以得到想要的形状。变形后，张量的元素个数与初始张量相同。下面这个简单的例子可以帮助我们理解张量变形。

>>> x = np.array([[0., 1.],[2., 3.],[4., 5.]])
>>> x.shape
(3, 2)
>>> x = x.reshape((6, 1))
>>> x
array([[ 0.],[ 1.],[ 2.],[ 3.],[ 4.],[ 5.]])
>>> x = x.reshape((2, 3))
>>> x
array([[ 0.,  1.,  2.],[ 3.,  4.,  5.]])

常见的一种特殊的张量变形是转置（transpose）​。矩阵转置是指将矩阵的行和列互换，即把x[i, :]变为x[:, i]。

>>> x = np.zeros((300, 20))  ←----创建一个形状为(300, 20)的零矩阵
>>> x = np.transpose(x)
>>> x.shape
(20, 300)

张量运算的几何解释

对于张量运算所操作的张量，其元素可看作某个几何空间中的点的坐标，因此所有的张量运算都有几何解释。以加法为例，假设有这样一个向量：

A = [0.5, 1]

它是二维空间中的一个点（见图2-6）​。常见的做法是将向量描绘成由原点指向这个点的箭头，如图2-7所示。

假设有另外一个点：B = [1, 0.25]，我们将它与前面的A相加。从几何角度来看，这相当于将两个向量的箭头连在一起，得到的位置表示两个向量之和对应的向量（见图2-8）​。如你所见，将向量B与向量A相加，相当于将A点复制到一个新位置，这个新位置相对于A点初始位置的距离和方向由向量B决定。如果将相同的向量加法应用于平面上的一组点（一个物体）​，就会在新位置上创建整个物体的副本（见图2-9）​。因此，张量加法表示将物体沿着某个方向平移一段距离（移动物体，但不使其变形）​。

一般来说，平移、旋转、缩放、倾斜等基本的几何操作都可以表示为张量运算。下面看几个例子。平移（translation）​。如前所示，在一个点上加一个向量，会使这个点在某个方向上移动一段距离。如果将操作应用于一组点（比如一个二维物体）​，就叫作“平移”​（见图2-9）​。旋转（rotation）​。要将一个二维向量逆时针旋转theta角（见图2-10）​，可以通过与一个2×2矩阵做点积运算来实现。这个矩阵为R = [​[cos(theta), -sin(theta)],[sin(theta), cos(theta)]​]。

缩放（scaling）​。要将图像在垂直方向和水平方向进行缩放（见图2-11）​，可以通过与一个2×2矩阵做点积运算来实现。这个矩阵为S=[​[horizontal_factor, 0], [0,vertical_factor]​]。​（注意，这样的矩阵叫作“对角线矩阵”​，因为它只有在从左上到右下的“对角线”上的元素不为零。​）线性变换（linear transform）​。与任意矩阵做点积运算，都可以实现一次线性变换。注意，前面所说的缩放和旋转，都属于线性变换。仿射变换（affine transform）​。仿射变换（见图2-12）是一次线性变换（通过与某个矩阵做点积运算来实现）与一次平移（通过向量加法来实现）的组合。你可能已经发现，这正是Dense层所实现的y = W•x + b运算！一个没有激活函数的Dense层就是一个仿射层。

带有relu激活函数的Dense层。关于仿射变换的一个重要结论是，重复应用多次仿射变换，仍相当于一次仿射变换（所以可以在一开始就应用这个仿射变换）​。我们用两个仿射变换来试一下：affine2(affine1(x)) = W2•(W1•x + b1) + b2 = (W2•W1)•x +(W2•b1 + b2)。这相当于是一次仿射变换，其线性变换部分是矩阵W2•W1，平移部分是向量W2•b1 + b2。因此，一个完全由没有激活函数的Dense层组成的多层神经网络等同于一个Dense层。这种“深度”神经网络其实就是一个线性模型！这就是需要用到激活函数的原因，比如relu（其效果见图2-13）​。由于激活函数的存在，一连串Dense层可以实现非常复杂的非线性几何变换，从而为深度神经网络提供非常丰富的假设空间。第3章将更详细地介绍这一点。