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洛谷P2764 最小路径覆盖问题

题目描述

给定有向图 $G=(V,E)$ 。设 $P$ 是 $G$ 的一个简单路（顶点不相交）的集合。如果 $V$ 中每个定点恰好在 $P$ 的一条路上，则称 $P$ 是 $G$ 的一个路径覆盖。$P$ 中路径可以从 $V$ 的任何一个定点开始，长度也是任意的，特别地，可以为 $0$。$G$ 的最小路径覆盖是 $G$ 所含路径条数最少的路径覆盖。设计一个有效算法求一个 DAG（有向无环图）$G$ 的最小路径覆盖。

输入格式

第一行有两个正整数 $n$ 和 $m$。$n$ 是给定 DAG（有向无环图）$G$ 的顶点数，$m$ 是 $G$ 的边数。接下来的 $m$ 行，每行有两个正整数 $i$ 和 $j$ 表示一条有向边 $(i,j)$。

输出格式

从第一行开始，每行输出一条路径。文件的最后一行是最少路径数。

输入输出样例 #1

输入 #1

11 12
1 2
1 3
1 4
2 5
3 6
4 7
5 8
6 9
7 10
8 11
9 11
10 11

输出 #1

1 4 7 10 11
2 5 8
3 6 9
3

说明/提示

对于 $100\%$ 的数据，$1\le n\le 150$，$1\le m\le 6000$。

思路:

(虽然是个紫题但是很模板，难度不高)

将每个点$i$拆成两个点 $u_i$,$v_i$，分别是出点和入点，原边$i\to j$变为$u_i\to v_j$
（建图时源点$s$连所有的$u$，汇点$t$连所有的$v$，如图）

这么做可以将图变为二分图，然后最小路径数=节点数量-最大匹配数。

不太严谨的证明如下：

我们首先将原图用n条路径覆盖，每条路径只经过一个节点。
现在尽量合并更多的路径(即将两个路径通过一条边首尾相连，对应二分图中的一条边)。
可以知道，每合并两条路径，图中的路径覆盖数就会减少1。
所以我们只需要合并尽可能多的路径即可。
这一步骤可以通过跑最大流或者直接二分图最大匹配实现。

代码1（匈牙利算法 二分图最大匹配）：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define endl '\n'
#define int long long
#define pb push_back
#define pii pair<int, int>
#define FU(i, a, b) for (int i = (a); i <= (b); ++i)
#define FD(i, a, b) for (int i = (a); i >= (b); --i)
const int MOD = 1e9 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 5e5 + 5;// vector<vector<int>> a(155,vector<int>(155));
vector<int> a[155];
vector<int> p(155), rp(155);
int vis[155];
bool dfs(int x) {for (int e : a[x]) {if (!vis[e]) {vis[e] = true;if (rp[e] == 0 || dfs(rp[e])) {p[x] = e;rp[e] = x;return true;}}}return false;
}signed main() {
#ifdef ONLINE_JUDGE
#elsefreopen("../in.txt", "r", stdin);
#endifcin.tie(0)->ios::sync_with_stdio(0);int n, m;cin >> n >> m;for (int i = 0; i < m; i++) {int u, v;cin >> u >> v;a[u].pb(v);}for (int i = 1; i <= n; i++) {memset(vis, false, sizeof(vis));dfs(i);}int ans = 0;for (int i = 1; i <= n; i++) {if (rp[i] == 0) {ans++;int j = i;while (j != 0) {cout << j << " ";j = p[j];}cout << endl;}}cout << ans;return 0;
}

代码2 （Dinic网络最大流）：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int maxn = 100000 + 10;
const int inf = 1 << 30;
struct edge {int from, to, cap, flow;edge(int u, int v, int c, int f) : from(u), to(v), cap(c), flow(f) {}
};
struct Dinic {int n, m, s, t;vector<edge> edges; // 边数的两倍vector<int> G[maxn]; // 邻接表，G[i][j]表示结点i的第j条边在e数组中的序号bool vis[maxn]; // BFS使用int d[maxn];    // 从起点到i的距离int cur[maxn];  // 当前弧指针void init(int n) {this->n = n;for (int i = 0; i < n; i++)G[i].clear();edges.clear();}void clear() {for (int i = 0; i < edges.size(); i++)edges[i].flow = 0;}void reduce() {for (int i = 0; i < edges.size(); i++)edges[i].cap -= edges[i].flow;}void addedge(int from, int to, int cap) {edges.push_back(edge(from, to, cap, 0));edges.push_back(edge(to, from, 0, 0));m = edges.size();G[from].push_back(m - 2);G[to].push_back(m - 1);}bool BFS() {memset(vis, 0, sizeof(vis));queue<int> Q;Q.push(s);vis[s] = 1;d[s] = 0;while (!Q.empty()) {int x = Q.front();Q.pop();for (int i = 0; i < G[x].size(); i++) {edge &e = edges[G[x][i]];if (!vis[e.to] && e.cap > e.flow) {vis[e.to] = 1;d[e.to] = d[x] + 1;Q.push(e.to);}}}return vis[t];}int DFS(int x, int a) {if (x == t || a == 0)return a;int flow = 0, f;for (int &i = cur[x]; i < G[x].size(); i++) {edge &e = edges[G[x][i]];if (d[x] + 1 == d[e.to] &&(f = DFS(e.to, min(a, e.cap - e.flow))) > 0) {e.flow += f;edges[G[x][i] ^ 1].flow -= f;flow += f;a -= f;if (a == 0)break;}}return flow;}int Maxflow(int s, int t) {this->s = s;this->t = t;int flow = 0;while (BFS()) {memset(cur, 0, sizeof(cur));flow += DFS(s, inf);}return flow;}vector<vector<int>> getPaths(int N) { // N为原始的节点数量，标号1-Nvector<vector<int>> paths;vector<int> next(N + 1, -1);vector<bool> is_start(N + 1, true); // 判断是否为起点// Step 1: 找出有流量的中间边，构建后继关系for (int u = 1; u <= N; ++u) {for (int id : G[2 * u]) {         // 遍历u的出点edge &e = edges[id];          // 从u出发的边if (e.flow != 1 || e.to == t) // 找出有流量的中间边continue;int v = edges[id].to / 2; // 下一个节点原始的vnext[u] = v;is_start[v] = false; // 有前驱的节点标记为非起点}}// Step 2: 从起点开始，收集路径for (int u = 1; u <= N; ++u) {if (is_start[u]) {vector<int> path;int now = u;while (now != -1) {path.push_back(now);now = next[now];}paths.push_back(path);}}return paths;}
} dinic;signed main() {
#ifdef ONLINE_JUDGE
#elsefreopen("../in.txt", "r", stdin);
#endifcin.tie(0)->ios::sync_with_stdio(0);int n, m;cin >> n >> m;int s = 0, t = 1;dinic.init(2 * n + 1);for (int i = 1; i <= n; i++) {int u = i * 2, v = i * 2 + 1;dinic.addedge(s, u, 1);dinic.addedge(v, t, 1);}for (int i = 1; i <= m; i++) {int u, v;cin >> u >> v;dinic.addedge(2 * u, 2 * v + 1, 1);}int ans = dinic.Maxflow(s, t);vector<vector<int>> paths = dinic.getPaths(n);for (auto &path : paths) {for (int node : path)cout << node << " ";cout << endl;}cout << n - ans << endl;return 0;
}